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In memoriam: Rudolf Kalman

El pasado 2 de julio falleció Rudolf Kalman, uno de los científicos cuyos resultados nos afectan directamente en la vida cotidiana. Es una fortuna que los científicos disfruten del prestigio durante su vida.

La mayor contribución de este matemático, ingeniero e inventor húngaro formado en Estados Unidos, es el celebérrimo filtro que lleva su nombre, y que se incorporó en el programa Apollo de la NASA en 1960. ¿De qué sirve este filtro?  No voy a explicarlo con un cohete, sino con un dispositivo mucho más sencillo:

Pensemos que un sensor nos arroja cada intervalo de tiempo una medida de la posición de la máquina, y que se iría llenando el siguiente vector de posiciones:

x = [0  0.1  0.22  0.31  0.42  0.50...];

¿Son estas posiciones las absolutas y las totalmente fiables? NUNCA. Por muy bueno y caro que sea un sensor, nunca será perfecto, y siempre su medida va a tener una incertidumbre. La medida que arroje un sensor en cada instante puede representarse mediante una campana de Gauss. Lo más probable es que la medida del sensor sea en el punto más alto, pero podría darse que estuviera en otro punto.

Y si imaginamos además que hay un sensor que mide la aceleración en los mismos intervalos de tiempo de mi máquina, tampoco puedo considerar que esas aceleraciones sean exactas. Ocurre exactamente lo mismo que con la posición. 

Vaya, ¡qué faena! Resulta que ni la posición ni la aceleración en cada instante de tiempo es fiable. Por lo tanto, en ningún momento parece que pueda asegurar dónde está mi máquina. ¿Llegamos a la Luna de chiripa o qué? 

El filtro de Kalman viene a resolver esas incertidumbres en las medidas de los sensores y fusiona los datos en sencillos pasos los datos hasta tener la posición real de mi máquina. Posiblemente, tras el filtrado de Kalman, la posición de mi aparato no sea el que he puesto en el vector x, sino:

x1= [0  0.11  0.23  0.30   0.40  0.48], por decir algo.

Programar el filtro de Kalman en Matlab o Excel es sencillísimo, tal y como se puede encontrar en numerosas webs, como ésta. Como os podéis imaginar, el filtro de Kalman está muy de moda ahora entre ingenieros que se dedican a la robótica móvil, pero es que esta herramienta se emplea en cualquier serie de datos temporales para predecir con más exactitud.

Hay una variable si el sistema a modelar es no-lineal, que es el filtro de Kalman Extendido, pero de ese no vamos a hablar ahora.

Puede que os interese saber que en todos los partidos de fútbol se emplea el filtro de Kalman para las cámaras del estadio y el seguimiento de objetos móviles. 

A pesar de todo lo dicho, Rudolf Kalman no fue el único que llegó a desarrollar su algoritmo. Tal y como indica la Wikipedia, esto fue una co-invención. Rudolf Kalman no fue el único que pensó sobre este problema, y entre otros estuvieron Gauss, Kolmogorov, Legendre... pero sobre todo, la co-autoría se puede atribuir también a Peter Swerling, quién llegó a una expresión parecida poco antes de manera independiente.


Accidentes con los coches autónomos: era cuestión de tiempo

Después de un periodo de trabajo bastante intenso en los últimos meses, intentaré volver a retomar una actividad más frecuente en el blog.

En esta ocasión, toca hablar sobre coches autónomos: el pasado 29 de junio, el coche Tesla Model S sufrió un fatal accidente en el que falleció su ocupante, Joshua Brown. El accidente surgió con el famoso autopilot de la marca, por lo que se convierte en la primera víctima mortal con este tipo de vehículos. Curiosamente, el experto en robótica, Alan Winfield, el 31 de marzo de este año publicó en su blog que la primera víctima era cuestión de tiempo.

El accidente está explicado en multitud de webs, pero creo que la siguiente imagen del NYTimes es bastante explicativa: 


Tal y como se puede ver, un camión de grandes dimensiones se cruzó en la trayectoria del coche, y éste no frenó. 

Es crítico conocer las razones que provocaron el fallo del autopilot. Todo apunta a un fallo de visión artificial, donde no se distinguió bien el color blanco del camión en contraste con el cielo de color claro que había en ese momento. Elon Musk es reconocido por ser crítico con el sistema LIDAR como instrumento para escanear lo que hay alrededor del vehículo y posicionarse (SLAM). El Tesla Model S equipa cámaras (sensor MobilEye concretamente), y probablemente el sistema LIDAR hubiera detectado sin problemas el camión en cuestión. 

El LIDAR es el sistema habitual en otras propuestas de coches autónomos, pero sus mayores problemas son el abusivo consumo de energía (por eso no lo equipa el Mars Rover) y su elevado precio.

Es irónico saber que la víctima realizó un vídeo dos meses antes en el que aseguraba que el sistema autopilot le salvó cuando un camión blanco más pequeño se le cruzó en su camino (a continuación se puede ver la grabación):


Pero como siempre, el diablo está en los detalles, y desgracias como ésta pesan tanto en la penetración de estos coches en la sociedad, como la propia tecnología. Y ahí van los detalles que marcarán las decisiones legales y de responsabilidad en este suceso:

1) El sistema auto-pilot de Tesla no es estrictamente un sistema autónomo. No está conectado al sistema de navegación, y simplemente se trata de un sistema supervisado de aprendizaje automático que no tiene el control último del coche. Más bien es un sistema que se guía por las líneas de las carreteras y las distancias a otros vehículos. Pero el conductor puede tomar el control total del coche cuando lo considere.

2) Será muy importante la decisión de cómo se van a gestionar los seguros y qué responsabilidad se carga sobre cada uno de los actores del accidente (conductor, fabricante Tesla y camión). Para mí Tesla sí que tiene parte de culpa, ya que su sistema de visión falló. Y tal y como dice este artículo, los pilotos de aviones vuelan con la opción de modo automático, pero están entrenados para actuar en caso de cualquier incidencia. No es el caso de los conductores habituales.

Tesla presume de tener una especie de caja negra de accidentes y dilucidar sin duda alguna de quién es la culpa en cualquier accidente, tal y como lo argumentó en otro tipo de accidentes. Sin embargo, también será importante leer detenidamente el contrato que firma cualquier comprador de Tesla.

3) En mi opinión, la mayor dificultad de la penetración y normalización de coches autónomos en nuestras vidas no será problema de la tecnología, ni de las carreteras, ni del precio. Serán los tests. Hay que hacer muchos muchos tests. Los vehículos autónomos no fallan como un humano. Han demostrado que son capaces de reaccionar a señales mucho más rápido que nosotros, a no fatigarse, o a mantener siempre la atención. Pero todavía no sabemos cómo gestionan toda la información que reciben y qué decisiones toman en consecuencia.

Estamos en un momento científico tecnológico apasionante.




Fuente original (blog de Tesla): https://www.teslamotors.com/blog/tragic-loss

Un poco de química y matemáticas del fútbol

¿Cuál es el origen de la estética y geometría del balón de fútbol al que estamos acostumbrados? Posiblemente, mucha gente atribuya este objeto a miles de horas de y trabajo de depuración de diseñadores. Como si tras un montón de pruebas, lográsemos un gran diseño estético de coche con sus líneas. Pero para los matemáticos, representa un curioso problema. ¿Habéis contado alguna vez cuántos paneles, hexágonos y pentágonos tiene un balón?



Pues si lo hacéis con un poco de paciencia, descubriréis que balones como el de la imagen tienen 12 pentágonos. La FIFA concretamente no dice nada de esto, sino que dice que para que una pelota sea pelota:
- debe ser una esfera con una circunferencia entre 68 y 70 cm.
- con un máximo de una desviación de 1.5% de la forma esférica cuando esté inflada
- la presión debe ser de 0.8 atmósferas.

¿Cuántos hexágonos tiene? Esto os costará un poco. ¡Armaros de paciencia para contarlos!

Pero a ver, ¿dónde está aquí la matemática y la química? Pues obviamente, el problema matemático reside en cómo encerrar un volumen sólo con pentágonos y hexágonos. Fíjaos en las siguientes imágenes (extraídas de aquí):

Son figuras que encierran un volumen y están formados por pentágonos y hexágonos... pero eso no tiene pinta de rodar por el césped correctamente (El de la izquierda tiene 20 vértices y 12 pentágonos; el de la derecha a su vez, tiene 24 vértices, 12 pentágonos y 2 hexágonos). ¿Cuál es la característica común en estas dos figuras? Que ambas tienen 12 pentágonos, y a eso se le denomina fullereno

Si manteniendo los 12 pentágonos, aumentamos un poco el número de hexágonos y de vértices, obtenemos formas que se parecen ya. Concremente, la siguiente figura tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, y si no estuviera inflada, descansaría sobre una cara.

Y desde luego, no es "esférico", como se refieren a él muchos comentaristas deportivos, ya que puede constituir el 85% del volumen de una esfera. Si añadiésemos más vértices y hexágonos lograríamos formas aún más esféricas. ¿El problema? Que todo eso encarece el coste de la pelotita y las marcas no pasan por ahí. Pero volvamos a ver de dónde sale que en todas las "esferas" hay 12 pentágonos:

Esto se demostró en el siglo XIX, a cargo del GENIAL matemático Leonard Euler, que relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro. Esta fórmula dice de manera muy simplificada que si v son los vértices, a las aristas y c las caras, siempre se cumple que:

v - a + c = 2   (v - e + f en inglés, mucho más extendida) 

Si un fullereno tiene p pentágonos y h hexágonos: 

- cada arista está compartida por dos caras: a = (5p + 6h)/2
- cada vértice está compartida por 3 caras: v = (5p + 6h)/3
- hay p + h caras: c=p+h

Y si aplicáis la fórmula de Euler, descubriréis que p=12.

Un problema similar surgió en los 80 en el ámbito de la química, cuando se estudiaba un molécula de carbono de 60 átomos, que formaba anillos de 5 y 6 átomos cada uno. Se sabía que el hueco de esta molécula era hueco. Y cuando se empezó a dibujar el fullereno como un balón de fútbol, al principio se le comenzó a llamar futboleno. Y ojo, que 3 señores recibieron el Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta estructura.




Más información

http://static.cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
 http://mathtourist.blogspot.com.es/2010/06/hexagons-pentagons-and-geodesic-domes.html
http://verne.elpais.com/verne/2015/09/11/articulo/1441988783_165642.html
http://blog.zacharyabel.com/tag/eulers-graph-formula/
https://math.stackexchange.com/questions/18340/why-are-there-12-pentagons-and-20-hexagons-on-a-soccer-ball
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/alcobendas/alcobendas.htm

Benjamin Robins, engranajes y disparos

La balística sufrió algunas revoluciones a lo largo de la historia, como la pólvora, la ciencia de materiales o técnicas de fabricación. Pero una de ellas la protagonizó un ingeniero militar: Benjamin Robins (1707-1751).

Según escribió una vez un oficial de artillería, Robins era a la artillería como el inmortal Newton lo era a la filosofía. Antes de su influencia, el acierto en el tiro era una cuestión de azar sujeta a múltiples variables e incertidumbres. Ese mismo siglo, el presidente de la Royal Society fue más allá y afirmó que Robins había inventado una ciencia nueva. (Ojo, que el estudio de lanzamiento de partículas en el aire data de tiempos de Aristóteles y otros muchos han habido en la mitad).

Robins ya era miembro de la Royal Society desde 1727, y afortunadamente, la grandeza de este personaje se notó enseguida. En 1742 publicó su obra, "Los nuevos principios de la artillería", el cual fue traducido al alemán por Leonard Euler (1707-1783), lo cual hizo que el trabajo de Robins no solo tuviera influencia en su patria, Gran Bretaña, sino por toda Europa. En este libro, Robins describía el invento por el que se le conoce: el péndulo balístico.

Robins se basaba en la mecánica newtoniana para calcular con su péndulo la velocidad de salida del cañón. Esencialmente, el invento consistía en disparar una bala contra la masa colgada del péndulo y calcular su arco. La masa del péndulo era bastante mayor que la de las balas de aquella época.


A los alumnos de Bachillerato, en clase de física se les enseña la trayectoria parabólica de una bola o una partícula en el aire. Pero en la artillería no sólo se tenía que tener en cuenta eso, sino también la presión en la cámara del cañón, cuánta se podía perder, la velocidad de la bola, su temperatura, y otros diversos factores. Robins para su péndulo realizó 13 proposiciones matemáticas, que se pueden leer aquí.

Pero todo evoluciona. El primer artilugio que sustituyó al péndulo balístico se desarrolló en 1808 durante las Guerras Napoleónicas. Su avance es que podía medir la velocidad del proyectil directamente a través de unos discos. Pero no fue el único adelanto:

La batalla de Jutland entre Gran Bretaña y Alemania se produjo en un mayo de hace 100 años, en plena WWI. Es importante destacar que fue una batalla naval. Los británicos resultaron vencedores. Por aquel entonces, estaba extendido que ellos eran los mejores en precisión de fuego en artillería.

Menos mal, ya que tras la batalla, se dieron cuenta de que solo acertaron en el blanco un 3% de todos los proyectiles de la Armada Real. Eso provocó un antes y un después en la actitud de los mandamases del ejército. ¿Ocurrió esto de la noche a la mañana?

No exactamente: hasta 1800, la mayoría de batallas navales se desarrollaban con un alcance de fuego de entre 20 y 45m. Pero durante el siglo XIX se desarrollaron naves más veloces, ágiles, y con más potentes disparos de artillería. Con tal alcance de proyectil, los enemigos tenían que alejarse entre ellos, y la táctica se transforma de "apuntar al objetivo" a "alcanzar el objetivo". Disparar desde un barco no es tarea fácil, ya que objetivo y arma se mueven, vibran, y con largas distancias hay que tener en cuenta ligeros efectos de Coriolis.

La falta de precisión fue el convencimiento definitivo de que se necesitaba ayuda para apuntar mejor: comenzaron a equiparse los barcos con máquinas calculadoras mecánicas. Los originarios ordenadores. Se trataba de rudimentarias calculadoras que permitían calcular de una manera más rápida que la manual, los simples modelos balísticos. El más extendido desde 1800 hasta la WWI, estaba influenciado por la escuela militar rusa y francesa. f(y,V) representa la resistencia aerodinámica en función de la velocidad, V.

Los ordenadores usados en esa época consistían esencialmente en engranajes que permitían calcular cosas muy sencillas. Pensemos que era esto o hacerlo a mano. Este tipo de tecnología se la debemos principalmente a Charles Babbage. Si pensamos en elementos mecánicos para cálculo no obstante, esto se remonta a Vitrubio, quien describe el uso de una rueda para el cálculo de un arco. Pero no nos vayamos tan lejos. En 1905 ya empezó a estar disponible el "ordenador" Argo, o el calculador de Frederic Dreyer, incorporado por la Armada Real Británica.


Incluso las tropas de a pie comenzaron a llevar tablas con ellos para mejorar los cálculos, como la finlandesa. El siguiente invento lo llamaron ellos Korjausmuunnin.


 

Sí, Coriolis, otra vez

Hay mucho mito y leyenda sobre el efecto que provoca el famoso Coriolis. No serán pocos los vídeos de YouTube que dicen que el sentido de giro del agua del baño se produce por este curioso efecto. Aunque Coriolis sea un efecto clásico en la divulgación científica, vamos a ver si dejamos claras en este blog las cosas principales:

Coriolis es un término que aparece en las fórmulas fundamentales de la Mecánica Clásica a lo largo del tema de cinemática del sólido rígido (SR). Si ese SR tiene una rotación sobre si mismo, se dice que la velocidad de un punto A de ese sólido es igual a la velocidad de un punto B + la velocidad de giro x la distancia entre A y B. Todo esto en expresiones vectoriales, claro.

Sin embargo, al derivar respecto al tiempo la velocidad para conseguir la aceleración, aparecen unos términos extra de manera automática. Ese término es Coriolis. Por lo tanto, no hay Coriolis sin rotación sobre un eje del propio SR. 

Coriolis es el responsable del sentido de giro de huracanes y tifones en un hemisferio y otro, tal y como se explicó en este blog aquí. Sin embargo, hay mucha incertidumbre sobre las historias de artillería y si Coriolis desviaba las balas de cañón que se lanzaban desde larga distancia hacia el objetivo. Pensadlo: una bala puede ir en línea recta, pero la Tierra bajo ella se va girando. ¿Realmente eso afecta en la balística?

Pues no hay ninguna evidencia de esas batallas donde se corrobore. Muchos alumnos han aprendido estas historias en la carrera, pero parece que son fruto de la cultura popular o un achacamiento de la imprecisión de los disparos a Coriolis. Cuando probablemente los fallos eran debidos a otros motivos.

El efecto Coriolis debe su nombre al ingeniero civil frances Gaspar Coriolis. Sin embargo, antes que él, ya lo estudió el genio de Laplace, quien era examiner de la Artillería Real Francesa por aquella época. Con datos del libro de Modern Exterior Ballistics, aparecen estas relaciones de distancias de tiro y desviaciones de balas de 7,62mm por efecto Coriolis

457m (500 yd):     0,15m
915m (1000 yd):   0,71m
1371m (1500 yd): 1,93m
1828m (2000 yd): 4m

Por afectar, afecta hasta en un disparo de penalty de fútbol. Lo que pasa es que ahí la masa del balón y la distancia que recorre es muy pequeña, pero se puede medir. ¿Queréis conocer un efecto a lo grande? ¡Pues hagamos un ensayo a lo grande!

En la WWI ya se impuso el uso de la aviación, y eso le restó mucha importancia a la infantería en los distintos ejércitos. Por lo tanto, los alemanes construyeron un super cañón (Paris Gun) para bombardear París desde el último territorio conquistado alemán. (Ojo, no confundir a este arma con La Gran Bertha, se trata de cañones diferentes). 

Se dispararan super cañones a París desde una distancia de 120 km, con una masa de proyectil de 94kg. Según los datos registrados, el disparo tuvo una gran desviación debida a Coriolis, y hay constancia de disparos que se quedaron cortos por 393 metros, y tuvo una desviación lateral de 1343m (fuente). En total se dispararon entre 320 y 367 proyectiles.




¿Por qué el Rover Curiosity es más lento que un caracol?

El cine nos ha infundido la idea de que cuando los alienígenas invadan la Tierra lo harán con super-máquinas. Cuando los humanos hemos comenzado a explorar otros planetas también lo hemos hecho con una increíble tecnología. Sin embargo el último que está posado sobre la superficie de Marte no vuela y es más lento que un caracol (en el sentido estricto de la palabra, velocidad media de 30m/h). Pero no es algo dejado al azar. Existen varias razones para ello:

La principal es el tipo de suspensión que lleva. En inglés se denomina rocker-bogie suspension, y su traducción podría ser suspensión bogie-balancín. En la siguiente imagen se ve perfectamente cómo es esta estructura:
 





Para seguir leyendo, puedes hacerlo a través de la página del Cuaderno de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, donde salió originalmente publicado el artículo.



 
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