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Un poco de química y matemáticas del fútbol

¿Cuál es el origen de la estética y geometría del balón de fútbol al que estamos acostumbrados? Posiblemente, mucha gente atribuya este objeto a miles de horas de y trabajo de depuración de diseñadores. Como si tras un montón de pruebas, lográsemos un gran diseño estético de coche con sus líneas. Pero para los matemáticos, representa un curioso problema. ¿Habéis contado alguna vez cuántos paneles, hexágonos y pentágonos tiene un balón?



Pues si lo hacéis con un poco de paciencia, descubriréis que balones como el de la imagen tienen 12 pentágonos. La FIFA concretamente no dice nada de esto, sino que dice que para que una pelota sea pelota:
- debe ser una esfera con una circunferencia entre 68 y 70 cm.
- con un máximo de una desviación de 1.5% de la forma esférica cuando esté inflada
- la presión debe ser de 0.8 atmósferas.

¿Cuántos hexágonos tiene? Esto os costará un poco. ¡Armaros de paciencia para contarlos!

Pero a ver, ¿dónde está aquí la matemática y la química? Pues obviamente, el problema matemático reside en cómo encerrar un volumen sólo con pentágonos y hexágonos. Fíjaos en las siguientes imágenes (extraídas de aquí):

Son figuras que encierran un volumen y están formados por pentágonos y hexágonos... pero eso no tiene pinta de rodar por el césped correctamente (El de la izquierda tiene 20 vértices y 12 pentágonos; el de la derecha a su vez, tiene 24 vértices, 12 pentágonos y 2 hexágonos). ¿Cuál es la característica común en estas dos figuras? Que ambas tienen 12 pentágonos, y a eso se le denomina fullereno

Si manteniendo los 12 pentágonos, aumentamos un poco el número de hexágonos y de vértices, obtenemos formas que se parecen ya. Concremente, la siguiente figura tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, y si no estuviera inflada, descansaría sobre una cara.

Y desde luego, no es "esférico", como se refieren a él muchos comentaristas deportivos, ya que puede constituir el 85% del volumen de una esfera. Si añadiésemos más vértices y hexágonos lograríamos formas aún más esféricas. ¿El problema? Que todo eso encarece el coste de la pelotita y las marcas no pasan por ahí. Pero volvamos a ver de dónde sale que en todas las "esferas" hay 12 pentágonos:

Esto se demostró en el siglo XIX, a cargo del GENIAL matemático Leonard Euler, que relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro. Esta fórmula dice de manera muy simplificada que si v son los vértices, a las aristas y c las caras, siempre se cumple que:

v - a + c = 2   (v - e + f en inglés, mucho más extendida) 

Si un fullereno tiene p pentágonos y h hexágonos: 

- cada arista está compartida por dos caras: a = (5p + 6h)/2
- cada vértice está compartida por 3 caras: v = (5p + 6h)/3
- hay p + h caras: c=p+h

Y si aplicáis la fórmula de Euler, descubriréis que p=12.

Un problema similar surgió en los 80 en el ámbito de la química, cuando se estudiaba un molécula de carbono de 60 átomos, que formaba anillos de 5 y 6 átomos cada uno. Se sabía que el hueco de esta molécula era hueco. Y cuando se empezó a dibujar el fullereno como un balón de fútbol, al principio se le comenzó a llamar futboleno. Y ojo, que 3 señores recibieron el Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta estructura.




Más información

http://static.cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
 http://mathtourist.blogspot.com.es/2010/06/hexagons-pentagons-and-geodesic-domes.html
http://verne.elpais.com/verne/2015/09/11/articulo/1441988783_165642.html
http://blog.zacharyabel.com/tag/eulers-graph-formula/
https://math.stackexchange.com/questions/18340/why-are-there-12-pentagons-and-20-hexagons-on-a-soccer-ball
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/alcobendas/alcobendas.htm

Benjamin Robins, engranajes y disparos

La balística sufrió algunas revoluciones a lo largo de la historia, como la pólvora, la ciencia de materiales o técnicas de fabricación. Pero una de ellas la protagonizó un ingeniero militar: Benjamin Robins (1707-1751).

Según escribió una vez un oficial de artillería, Robins era a la artillería como el inmortal Newton lo era a la filosofía. Antes de su influencia, el acierto en el tiro era una cuestión de azar sujeta a múltiples variables e incertidumbres. Ese mismo siglo, el presidente de la Royal Society fue más allá y afirmó que Robins había inventado una ciencia nueva. (Ojo, que el estudio de lanzamiento de partículas en el aire data de tiempos de Aristóteles y otros muchos han habido en la mitad).

Robins ya era miembro de la Royal Society desde 1727, y afortunadamente, la grandeza de este personaje se notó enseguida. En 1742 publicó su obra, "Los nuevos principios de la artillería", el cual fue traducido al alemán por Leonard Euler (1707-1783), lo cual hizo que el trabajo de Robins no solo tuviera influencia en su patria, Gran Bretaña, sino por toda Europa. En este libro, Robins describía el invento por el que se le conoce: el péndulo balístico.

Robins se basaba en la mecánica newtoniana para calcular con su péndulo la velocidad de salida del cañón. Esencialmente, el invento consistía en disparar una bala contra la masa colgada del péndulo y calcular su arco. La masa del péndulo era bastante mayor que la de las balas de aquella época.


A los alumnos de Bachillerato, en clase de física se les enseña la trayectoria parabólica de una bola o una partícula en el aire. Pero en la artillería no sólo se tenía que tener en cuenta eso, sino también la presión en la cámara del cañón, cuánta se podía perder, la velocidad de la bola, su temperatura, y otros diversos factores. Robins para su péndulo realizó 13 proposiciones matemáticas, que se pueden leer aquí.

Pero todo evoluciona. El primer artilugio que sustituyó al péndulo balístico se desarrolló en 1808 durante las Guerras Napoleónicas. Su avance es que podía medir la velocidad del proyectil directamente a través de unos discos. Pero no fue el único adelanto:

La batalla de Jutland entre Gran Bretaña y Alemania se produjo en un mayo de hace 100 años, en plena WWI. Es importante destacar que fue una batalla naval. Los británicos resultaron vencedores. Por aquel entonces, estaba extendido que ellos eran los mejores en precisión de fuego en artillería.

Menos mal, ya que tras la batalla, se dieron cuenta de que solo acertaron en el blanco un 3% de todos los proyectiles de la Armada Real. Eso provocó un antes y un después en la actitud de los mandamases del ejército. ¿Ocurrió esto de la noche a la mañana?

No exactamente: hasta 1800, la mayoría de batallas navales se desarrollaban con un alcance de fuego de entre 20 y 45m. Pero durante el siglo XIX se desarrollaron naves más veloces, ágiles, y con más potentes disparos de artillería. Con tal alcance de proyectil, los enemigos tenían que alejarse entre ellos, y la táctica se transforma de "apuntar al objetivo" a "alcanzar el objetivo". Disparar desde un barco no es tarea fácil, ya que objetivo y arma se mueven, vibran, y con largas distancias hay que tener en cuenta ligeros efectos de Coriolis.

La falta de precisión fue el convencimiento definitivo de que se necesitaba ayuda para apuntar mejor: comenzaron a equiparse los barcos con máquinas calculadoras mecánicas. Los originarios ordenadores. Se trataba de rudimentarias calculadoras que permitían calcular de una manera más rápida que la manual, los simples modelos balísticos. El más extendido desde 1800 hasta la WWI, estaba influenciado por la escuela militar rusa y francesa. f(y,V) representa la resistencia aerodinámica en función de la velocidad, V.

Los ordenadores usados en esa época consistían esencialmente en engranajes que permitían calcular cosas muy sencillas. Pensemos que era esto o hacerlo a mano. Este tipo de tecnología se la debemos principalmente a Charles Babbage. Si pensamos en elementos mecánicos para cálculo no obstante, esto se remonta a Vitrubio, quien describe el uso de una rueda para el cálculo de un arco. Pero no nos vayamos tan lejos. En 1905 ya empezó a estar disponible el "ordenador" Argo, o el calculador de Frederic Dreyer, incorporado por la Armada Real Británica.


Incluso las tropas de a pie comenzaron a llevar tablas con ellos para mejorar los cálculos, como la finlandesa. El siguiente invento lo llamaron ellos Korjausmuunnin.


 

Sí, Coriolis, otra vez

Hay mucho mito y leyenda sobre el efecto que provoca el famoso Coriolis. No serán pocos los vídeos de YouTube que dicen que el sentido de giro del agua del baño se produce por este curioso efecto. Aunque Coriolis sea un efecto clásico en la divulgación científica, vamos a ver si dejamos claras en este blog las cosas principales:

Coriolis es un término que aparece en las fórmulas fundamentales de la Mecánica Clásica a lo largo del tema de cinemática del sólido rígido (SR). Si ese SR tiene una rotación sobre si mismo, se dice que la velocidad de un punto A de ese sólido es igual a la velocidad de un punto B + la velocidad de giro x la distancia entre A y B. Todo esto en expresiones vectoriales, claro.

Sin embargo, al derivar respecto al tiempo la velocidad para conseguir la aceleración, aparecen unos términos extra de manera automática. Ese término es Coriolis. Por lo tanto, no hay Coriolis sin rotación sobre un eje del propio SR. 

Coriolis es el responsable del sentido de giro de huracanes y tifones en un hemisferio y otro, tal y como se explicó en este blog aquí. Sin embargo, hay mucha incertidumbre sobre las historias de artillería y si Coriolis desviaba las balas de cañón que se lanzaban desde larga distancia hacia el objetivo. Pensadlo: una bala puede ir en línea recta, pero la Tierra bajo ella se va girando. ¿Realmente eso afecta en la balística?

Pues no hay ninguna evidencia de esas batallas donde se corrobore. Muchos alumnos han aprendido estas historias en la carrera, pero parece que son fruto de la cultura popular o un achacamiento de la imprecisión de los disparos a Coriolis. Cuando probablemente los fallos eran debidos a otros motivos.

El efecto Coriolis debe su nombre al ingeniero civil frances Gaspar Coriolis. Sin embargo, antes que él, ya lo estudió el genio de Laplace, quien era examiner de la Artillería Real Francesa por aquella época. Con datos del libro de Modern Exterior Ballistics, aparecen estas relaciones de distancias de tiro y desviaciones de balas de 7,62mm por efecto Coriolis

457m (500 yd):     0,15m
915m (1000 yd):   0,71m
1371m (1500 yd): 1,93m
1828m (2000 yd): 4m

Por afectar, afecta hasta en un disparo de penalty de fútbol. Lo que pasa es que ahí la masa del balón y la distancia que recorre es muy pequeña, pero se puede medir. ¿Queréis conocer un efecto a lo grande? ¡Pues hagamos un ensayo a lo grande!

En la WWI ya se impuso el uso de la aviación, y eso le restó mucha importancia a la infantería en los distintos ejércitos. Por lo tanto, los alemanes construyeron un super cañón (Paris Gun) para bombardear París desde el último territorio conquistado alemán. (Ojo, no confundir a este arma con La Gran Bertha, se trata de cañones diferentes). 

Se dispararan super cañones a París desde una distancia de 120 km, con una masa de proyectil de 94kg. Según los datos registrados, el disparo tuvo una gran desviación debida a Coriolis, y hay constancia de disparos que se quedaron cortos por 393 metros, y tuvo una desviación lateral de 1343m (fuente). En total se dispararon entre 320 y 367 proyectiles.




¿Por qué el Rover Curiosity es más lento que un caracol?

El cine nos ha infundido la idea de que cuando los alienígenas invadan la Tierra lo harán con super-máquinas. Cuando los humanos hemos comenzado a explorar otros planetas también lo hemos hecho con una increíble tecnología. Sin embargo el último que está posado sobre la superficie de Marte no vuela y es más lento que un caracol (en el sentido estricto de la palabra, velocidad media de 30m/h). Pero no es algo dejado al azar. Existen varias razones para ello:

La principal es el tipo de suspensión que lleva. En inglés se denomina rocker-bogie suspension, y su traducción podría ser suspensión bogie-balancín. En la siguiente imagen se ve perfectamente cómo es esta estructura:
 





Para seguir leyendo, puedes hacerlo a través de la página del Cuaderno de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, donde salió originalmente publicado el artículo.



En @MapIgnorance: system of quadrotors for the transportation of deformable linear objects

En mi última colaboración con el blog Mapping Ignorance hablé sobre un tipo de transporte de objetos con drones. Estamos acostumbrados a que un único drone transporte un único objeto, habitualmente rígido. ¿Pero qué ocurriría si intentáramos transportar un objeto deformable, como una cuerda, entre varios drones? El artículo comienza así:



Nowadays, the industry is centering their efforts on the development of single aerial robots carrying single objects, such as the widely-known drone of Amazon for delivering packages, which was followed by some national post-office services. However, other approaches go a step further and get to transport bigger objects in a cooperative way, reducing the payload of each drone and thus, increasing their battery duration. Besides, this cooperative transport might not only be used for retail services and packet deliveries, but for another completely different type of services and tasks.




Si quieres seguir leyendo el artículo sobre este aspecto, puedes hacerlo aquí. Mapping Ignorance es un blog realizado por investigadores de ciencia que transmiten los últimos avances de diversas disciplinas de una manera asequible. 

Un par de curiosidades del cuerpo humano, y su mecánica

No será por falta de ganas. Últimamente se me acumulan las tareas y me cuesta sacar tiempo para escribir en este blog. Pero por fin saco un hueco para hablar de algunas curiosidades sobre el cuerpo humano y su mecánica que me han llamado la atención. 

- ¿Qué cansa más: subir un tramo de escaleras rápido o despacio?
Si el tramo de peldaños elegido es el mismo para una y otra velocidad, el trabajo (designado por la letra W habitualmente en Mecánica Aplicada) es el mismo en los dos caso si suponemos que solo realizamos un cambio en la cota de alturas.

Sin embargo, la potencia no es la misma. En este caso, la P es la relación entre el trabajo, W, y el tiempo. Y dado que al correr invertimos menos tiempo, la potencia que tenemos que desarrollar es mayor al ir rápido y eso nos cansa.

No me he vuelto loco. Esta simple pregunta era la base para la siguiente: ¿si tardamos el mismo tiempo en subir unas escaleras, por qué nos cansa más subir los peldaños de dos en dos que de uno en uno? 
Según las fórmulas habituales de cinemática y dinámica en Mecánica Aplicada, no hay ninguna razón que demuestre esa fatiga. Teóricamente, no hemos generado más potencia, ya que el tiempo establecemos que es el mismo.

Me he encontrado varios hilos en Reddit a cuenta de esta cuestión (hilo1 e hilo2), entre otros lugares webs. Y en uno de ellos dan la solución a mi pregunta, y no es relativa a la ingeniería, sino a la fisiología: el gasto metabólico de los músculas al subir escalones de dos en dos es superior al de subir de uno en uno, y lo recogen en el artículo The metabolic and muscular differences between two stair-climbing strategies of young adults, y alegan que este extra de energía es por los extensores de rodillas y tobillos. En el abstract de hecho, recomiendan que subamos las escaleras de dos en dos a la hora de muscular las piernas. Una posible continuación de este artículo es éste otro.


Me parece que es una investigación relevante de cara a tratamientos médicos y musculares, pero no solo eso: también me parece que conocer esta serie de cosas puede venir bien para una futura modelización de robots humanoides que suban escaleras de dos en dos.

Y ahora viene la segunda píldora de ciencia del artículo, y es estudiar las razones del vaivén de los brazos durante el movimiento de las personas. He encontrado trabajos de investigación realizados en 1939 hablando sobre este curioso fenómeno, pero vayamos a un artículo de nuestros días, como Control and function of arm swing in human walking and running (de 2009). Este artículo habla de que el momento angular del movimiento humano está cercano al momento angular 0 (puede que algún otro día me centre en esto), y que el vaivén de los brazos ejerce de amortiguador (damper) en la rotación de hombros y pelvis.

 Y por eso, volviendo a los humanoides, no es de extrañar que las máquinas también requieran de ese curioso movimiento inconsciente para mantener su equilibrio o tener un buen control de su cadena cinemática. Por ejemplo, este artículo explica como gracias al movimiento de los brazos, su robot consigue que el centro de gravedad apenas se mueva. A continuación tenéis una imagen extraída de ese trabajo.





o este otro es uno de los muchos que dice que los brazos mejoran en gran medida la estabilidad de estos ingenios. 




Referencias aparecidas en este artículo
 M. Popovic, A. Hofmann and H. Herr, "Angular momentum regulation during human walking: biomechanics and control," Robotics and Automation, 2004. Proceedings. ICRA '04. 2004 IEEE International Conference on, 2004, pp. 2405-2411 Vol.3.
 T. Maneewarn and P. Sinsaranon, "Effect of swing arm during gait transition of a humanoid robot," ICCAS-SICE, 2009, Fukuoka, 2009, pp. 1222-1225.
 H. Pontzer, J. H. Holloway, 4th, D. A. Raichlen, D. E. Lieberman. "Control and function of arm swing in human walking and running".
Gottschall, J.S., Aghazarian, G.A., and Rorhbach, E.A. "The metabolic and muscular differences between two stair climbing strategies of young adults". Journal of Strength and Conditioning Research, 24:2558-2563, 2010.
Halsey, L. G., Watkins, D. A. R., & Duggan, B. M. (2012). "The Energy Expenditure of Stair Climbing One Step and Two Steps at a Time: Estimations from Measures of Heart Rate". PLoS ONE, 7(12),

 
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