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Delaunay, hijo de Voronoi, padre de Gollum

Georgy Voronoi (1868-1908) fue un matemático soviético, famoso por el estudio en profundidad en n dimensiones de los diagramas a los que finalmente se les ha dado su nombre. En inglés se suele usar la expresión "diagram of Voronoi", mientras que en castellano es más habitual expresarlo por regiones de idem. ¿En qué consisten? Aquí @clara_grima los definió perfectamente:

Consiste en dividir el espacio en tantas regiones como puntos u objetos tengamos de tal forma qu ea cada punto le asignemos la región formada por  todo lo que está más cerca de él que de nadie

 Y abusando de su confianza, voy a emplear la misma imagen como ejemplo:


Es un problema de geometría computacional, y habitualmente se ha empleado para problemas relativos a cómo repartir el espacio. Por ejemplo, en qué puntos de una ciudad poner buzones/farmacias. Aunque también nos podemos encontrar esta imagen en la naturaleza o en la arquitectura.








Y no solo eso, sino que las regiiones de Voronoi están de moda en el campo de la robótica, gracias a la creación de "carreteras" para estos aparatos (robotic roadmaps). Me explico: imaginaos que tenemos un escenario con obstáculos. Normalmente, en robótica se trata de hallar el algoritmo más eficiente para ir de un punto a otro (ya sea por ser el más corto o el que menos energía requiere). Pero los obstáculos no se pueden saltar de cualquiera manera.






Lógicamente, Voronoi por sí solo no permite hallar el camino de un punto A a B, sino que para eso hace falta alguna otra herramienta, como el algoritmo de Djikstra, y un posterior suavizado de las esquinas de Voronoi.

Y ojo, porque Georgy Voronoi no fue el primero que usó estas regiones, sino que fue el primero que lo estudió en profundidad. Anteriormente, en el siglo XVII ya los usaba Descartes.


Sin embargo, da igual la aplicación para la que queramos esta curiosidad geométrica: es un poco complicado obtenerla desde 0. El algoritmo más habitual para conseguirlo es el que propuso Steven Fortune en 1986, quien formaba regiones de Voronoi a partir de lo que parece la línea del mar entrando en la arena.

Pero hablar de Fortune me estropearía el artículo. La manera que os presentaré para crear las regiones de Voronoi son los famosos triángulos de Boris Delaunay (1890-1980), quien también fue un matemático soviético. Delaunay lograba repartir una nube de puntos en triangulaciones especiales, ya que los vértices de los triángulos de Delaunay siempre son parte de una circunferencia que no contiene ningún otro punto de esa nube.

Y además, resulta que la estructura de Delaunay es el grafo dual de Voronoi, y a partir de uno se puede conseguir el otro, aunque no entraré en esos detalles. En la siguiente imagen, el trazo oscuro corresponde a Delaunay, mientras que el discontinuo a Voronoi.

Pero de nuevo, aunque esto naciera como el estudio de una curiosidad geométrica, la triangulación de Delaunay sirven por sí mismas en aplicaciones muy actuales. Una de ellas, es el empleo de estas estructuras en creación de imágenes de cine a partir de sistemas de captura de movimientos. Es así tal y como se grabó la famosa película Avatar, en muchos vídeo-juegos actuales o en el archiconocido Gollum, de El Señor de los Anillos. Cierto es que junto a triangulaciones de Delaunay se emplearon otro tipo de técnicas. 

Este vídeo, aunque sea bastante casero, muestra un ejemplo de triangulación a partir de una imagen real. Por cierto, fue Delaunay quien estrictamente se apoyó en Voronoi, para entre otras cosas, sentar las bases matemáticas de la cristalografía.

Por lo tanto, espero que este artículo sea uno de mis pequeños granos de arena para demostraros que:
a) las matemáticas están en todas partes y sirven
b) no podemos predecir dónde se aplicarán los descubrimientos o trabajos científicos
c) la interrelación entre disciplinas hoy en día es total

Qué ven los grandes diseñadores de Formula1

Está a punto de comenzar la pretemporada de 2016 de Formula1. Es en los días de presentación y tests donde más análisis técnicos se afanan por hacer los periodistas y medios especializados. Sin embargo, aquí os traigo un representativo vídeo donde se ve la aparente facilidad con la que un veterano diseñador de coches de competición describe unos detalle del Ferrari de la temporada 2014 y de 2015 con unos simples trazos en un papel. Se trata de Enrique Scalabroni.



Para los que no tengáis tiempo de ver el vídeo, aquí va un pequeño resumen de lo que dice: 

El Ferrari 2014 tiene un centro de balanceo en el eje delantero más alto que en 2015.

El centro de balanceo (CB) es el punto respecto al cual gira el chasis. Más correctamente, respecto al centro de balanceo gira la masa suspendida del Formula1 (la parte del coche que no está tocando el coche).  Hallar el CB en un coche con suspensión trapezoidal es muy fácil: el punto donde se cruzan las prolongaciones de los dos trapecios se denomina centro de rotación. Si unimos la huella de cada rueda con su centro de rotación, el punto donde se unan esas 2 rectas será el CB. En reposo, el CB debe estar en el centro.



Sin embargo, la altura de ese punto no es la importante, sino más bien la distancia vertical entre el CB y centro de gravedad del coche

En 2014 esa distancia era más pequeña que en 2015. Por lo tanto, por un simple fórmula de momento (fuerza por distancia), la capacidad de balanceo en 2014 era muy pequeña, lo cual hacía que las fuerzas centrífugas en curva las tuviesen que absorber los elementos rígidos de la suspensión (trapecios). Esto hacía que los neumáticos se deslizaran mucho y tuvieran un gran desgaste. Como dirían los periodistas, no conservaba neumáticos. Y lo que es peor: ese gran desgaste suponía que la velocidad del paso por curva que podían hacer era necesariamente inferior al resto de los equipos.

En cambio, ¿qué ocurre en la configuración de 2015? El CB está bastante más bajo y el centro de gravedad podemos considerarlo que estaba en el mismo sitio más o menos. Lo cual hacía que el chasis pueda balancearse mucho más. Es decir, toda la energía que hay que disipar en el paso por curva o en frenada no se la van a llevar los elementos rígidos solo, sino que la suspensión, y más concretamente los amortiguadores, van a llevarse una buena parte de esa energía. 

Según comenta Scalabroni, en 2015 los amortiguadores de Kimmi Raikkönen eran blandos, lo cual hace que se puedan deformar mucho y disipar una buena cantidad de energía. Y además, por todo lo que hemos dicho, los neumáticos se desgastaban menos y la velocidad por curva era más alta.

El CB y el diseño de la suspensión es una cuestión muy importante de diseño en cualquier tipo de coche. Además, el centro de rotación de las suspensiones es un punto instantáneo, ya que según cómo de comprimido estén los muelles o cómo se mueva la suspensión, ese punto cambia. Por lo tanto, también cambia el CB. Un buen diseño es lograr que el movimiento del CB en el eje transversal sea el mínimo posible, por lo menos en coches de calle.

Y en Formula1, recuerdo que no se pueden aplicar soluciones como parches. El coche funciona como un conjunto, y no se puede cambiar una única parte sin empeorar el comportamiento general de la máquina.



Más información en los siguientes enlaces:

Dos artículos que me han parecido clarificadores de todo esto:

https://jasf1961.wordpress.com/category/suspensiones/
http://www.meganracing.com/tech/faqs.asp?id=106&subject=Suspension

Un vídeo explicando la mayoría de conceptos de este artículo sobre CB

Y una entrevista en el recomendable Safetycast a Scalabroni

Fabricantes de coches y sus trucos

En los últimos meses me ha tocado hablar bastante con mecánicos de coche, y en esta entrada recojo una de las muchas y curiosas historias que cuentan. Concretamente, una avería habitual que afecta a los BMW X3 y X5 principalmente.

Estos modelos tienen una tracción 4x4, a la que llamaron X-Drive y que explican en este vídeo promocional. Esta tracción comenzó en 2003 con el X3. No es una tracción integral, sino que por defecto el coche tiene tracción delantera trasera, pero en cuanto detecta que las ruedas delanteras patinan o no transmiten toda la fuerza al suelo, el sistema envía fuerza al eje trasero delantero. Esto se hace principalmente mediante una caja de transferencia. En este artículo usaré la palabra transfer, que parece que es el término habitual entre los profesionales.

El sistema completo está bastante bien explicado en el siguiente vídeo:



Una serie de anillos bloquean el sistema para que el eje trasero se ponga en funcionamiento, pero el problema no está ahí. El transfer básicamente es un sistema de engranajes que tras ese bloqueo transmite parte del par al eje trasero, pero en una pareja de engranajes uno es de nylon mientras que otro es metálico (acero probablemente).



Esto en mecánica de materiales es malísimo, ya que en un sistema de contacto cuando tenemos materiales de distintas propiedades uno siempre se va a desgastar. Imaginaos que las vías fueran de madera y que las ruedas del tren siguieran siendo como las conocéis. La disciplina que se encarga de esto es la tribología.

El fallo de BMW está recogido en muchísimas páginas web y foros, y en la mayoría de los casos se recomienda la sustitución de la pieza de plástico por otra metálica. Eso puede costar unos 100€, mientras que el transfer completo que vende BMW cuesta unos 800 según parece.

La rotura de este pequeño engranaje no es crítico y permite que el coche siga circulando, pero la tracción a las 4 ruedas ya no funciona y el ordenador de abordo muestra mensajes de fallo que harían llevar al taller a cualquier usuario.

Tan habitual es el fallo, que la página DIY por antonomasía también se ha hecho eco de cómo arreglarlo y especifica qué modelos de coche están afectados. Los de BMW no son tontos a la hora de sacar rentabilidad a sus ventas, pero no son los únicos y hay muchos ejemplos de este tipo de averías. El plástico es un material ligero, pero todavía su uso intensivo en automoción está lejos de ser una realidad.

Por cierto, no confundir a la caja de transferencia con el diferencial, del cual quizás os hable en otro post.


Actualización (7 de enero 2016)

El responsable de la web Pistonudos, @GuilleAlfonsin, me ha ayudado a ampliar información al respecto a esta curiosa pieza. Concretamente, explica que la pieza de plástico es una pieza mártir. Está diseñada a propósito para que se desgaste justo esa pieza, ya que si todo fuera metálico el desgaste sería mayor en todo el mecanismo y probablemente la avería sería mayor.

Y por último, también me ha respondido a una pregunta que nos podemos hacer muchos curiosos: ¿Por qué BMW no vende solo esa pieza de nylon en lugar de todo el conjunto? Ahí va su respuesta:


 
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