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Un poco de química y matemáticas del fútbol

¿Cuál es el origen de la estética y geometría del balón de fútbol al que estamos acostumbrados? Posiblemente, mucha gente atribuya este objeto a miles de horas de y trabajo de depuración de diseñadores. Como si tras un montón de pruebas, lográsemos un gran diseño estético de coche con sus líneas. Pero para los matemáticos, representa un curioso problema. ¿Habéis contado alguna vez cuántos paneles, hexágonos y pentágonos tiene un balón?



Pues si lo hacéis con un poco de paciencia, descubriréis que balones como el de la imagen tienen 12 pentágonos. La FIFA concretamente no dice nada de esto, sino que dice que para que una pelota sea pelota:
- debe ser una esfera con una circunferencia entre 68 y 70 cm.
- con un máximo de una desviación de 1.5% de la forma esférica cuando esté inflada
- la presión debe ser de 0.8 atmósferas.

¿Cuántos hexágonos tiene? Esto os costará un poco. ¡Armaros de paciencia para contarlos!

Pero a ver, ¿dónde está aquí la matemática y la química? Pues obviamente, el problema matemático reside en cómo encerrar un volumen sólo con pentágonos y hexágonos. Fíjaos en las siguientes imágenes (extraídas de aquí):

Son figuras que encierran un volumen y están formados por pentágonos y hexágonos... pero eso no tiene pinta de rodar por el césped correctamente (El de la izquierda tiene 20 vértices y 12 pentágonos; el de la derecha a su vez, tiene 24 vértices, 12 pentágonos y 2 hexágonos). ¿Cuál es la característica común en estas dos figuras? Que ambas tienen 12 pentágonos, y a eso se le denomina fullereno

Si manteniendo los 12 pentágonos, aumentamos un poco el número de hexágonos y de vértices, obtenemos formas que se parecen ya. Concremente, la siguiente figura tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, y si no estuviera inflada, descansaría sobre una cara.

Y desde luego, no es "esférico", como se refieren a él muchos comentaristas deportivos, ya que puede constituir el 85% del volumen de una esfera. Si añadiésemos más vértices y hexágonos lograríamos formas aún más esféricas. ¿El problema? Que todo eso encarece el coste de la pelotita y las marcas no pasan por ahí. Pero volvamos a ver de dónde sale que en todas las "esferas" hay 12 pentágonos:

Esto se demostró en el siglo XIX, a cargo del GENIAL matemático Leonard Euler, que relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro. Esta fórmula dice de manera muy simplificada que si v son los vértices, a las aristas y c las caras, siempre se cumple que:

v - a + c = 2   (v - e + f en inglés, mucho más extendida) 

Si un fullereno tiene p pentágonos y h hexágonos: 

- cada arista está compartida por dos caras: a = (5p + 6h)/2
- cada vértice está compartida por 3 caras: v = (5p + 6h)/3
- hay p + h caras: c=p+h

Y si aplicáis la fórmula de Euler, descubriréis que p=12.

Un problema similar surgió en los 80 en el ámbito de la química, cuando se estudiaba un molécula de carbono de 60 átomos, que formaba anillos de 5 y 6 átomos cada uno. Se sabía que el hueco de esta molécula era hueco. Y cuando se empezó a dibujar el fullereno como un balón de fútbol, al principio se le comenzó a llamar futboleno. Y ojo, que 3 señores recibieron el Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta estructura.




Más información

http://static.cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
 http://mathtourist.blogspot.com.es/2010/06/hexagons-pentagons-and-geodesic-domes.html
http://verne.elpais.com/verne/2015/09/11/articulo/1441988783_165642.html
http://blog.zacharyabel.com/tag/eulers-graph-formula/
https://math.stackexchange.com/questions/18340/why-are-there-12-pentagons-and-20-hexagons-on-a-soccer-ball
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/alcobendas/alcobendas.htm

Benjamin Robins, engranajes y disparos

La balística sufrió algunas revoluciones a lo largo de la historia, como la pólvora, la ciencia de materiales o técnicas de fabricación. Pero una de ellas la protagonizó un ingeniero militar: Benjamin Robins (1707-1751).

Según escribió una vez un oficial de artillería, Robins era a la artillería como el inmortal Newton lo era a la filosofía. Antes de su influencia, el acierto en el tiro era una cuestión de azar sujeta a múltiples variables e incertidumbres. Ese mismo siglo, el presidente de la Royal Society fue más allá y afirmó que Robins había inventado una ciencia nueva. (Ojo, que el estudio de lanzamiento de partículas en el aire data de tiempos de Aristóteles y otros muchos han habido en la mitad).

Robins ya era miembro de la Royal Society desde 1727, y afortunadamente, la grandeza de este personaje se notó enseguida. En 1742 publicó su obra, "Los nuevos principios de la artillería", el cual fue traducido al alemán por Leonard Euler (1707-1783), lo cual hizo que el trabajo de Robins no solo tuviera influencia en su patria, Gran Bretaña, sino por toda Europa. En este libro, Robins describía el invento por el que se le conoce: el péndulo balístico.

Robins se basaba en la mecánica newtoniana para calcular con su péndulo la velocidad de salida del cañón. Esencialmente, el invento consistía en disparar una bala contra la masa colgada del péndulo y calcular su arco. La masa del péndulo era bastante mayor que la de las balas de aquella época.


A los alumnos de Bachillerato, en clase de física se les enseña la trayectoria parabólica de una bola o una partícula en el aire. Pero en la artillería no sólo se tenía que tener en cuenta eso, sino también la presión en la cámara del cañón, cuánta se podía perder, la velocidad de la bola, su temperatura, y otros diversos factores. Robins para su péndulo realizó 13 proposiciones matemáticas, que se pueden leer aquí.

Pero todo evoluciona. El primer artilugio que sustituyó al péndulo balístico se desarrolló en 1808 durante las Guerras Napoleónicas. Su avance es que podía medir la velocidad del proyectil directamente a través de unos discos. Pero no fue el único adelanto:

La batalla de Jutland entre Gran Bretaña y Alemania se produjo en un mayo de hace 100 años, en plena WWI. Es importante destacar que fue una batalla naval. Los británicos resultaron vencedores. Por aquel entonces, estaba extendido que ellos eran los mejores en precisión de fuego en artillería.

Menos mal, ya que tras la batalla, se dieron cuenta de que solo acertaron en el blanco un 3% de todos los proyectiles de la Armada Real. Eso provocó un antes y un después en la actitud de los mandamases del ejército. ¿Ocurrió esto de la noche a la mañana?

No exactamente: hasta 1800, la mayoría de batallas navales se desarrollaban con un alcance de fuego de entre 20 y 45m. Pero durante el siglo XIX se desarrollaron naves más veloces, ágiles, y con más potentes disparos de artillería. Con tal alcance de proyectil, los enemigos tenían que alejarse entre ellos, y la táctica se transforma de "apuntar al objetivo" a "alcanzar el objetivo". Disparar desde un barco no es tarea fácil, ya que objetivo y arma se mueven, vibran, y con largas distancias hay que tener en cuenta ligeros efectos de Coriolis.

La falta de precisión fue el convencimiento definitivo de que se necesitaba ayuda para apuntar mejor: comenzaron a equiparse los barcos con máquinas calculadoras mecánicas. Los originarios ordenadores. Se trataba de rudimentarias calculadoras que permitían calcular de una manera más rápida que la manual, los simples modelos balísticos. El más extendido desde 1800 hasta la WWI, estaba influenciado por la escuela militar rusa y francesa. f(y,V) representa la resistencia aerodinámica en función de la velocidad, V.

Los ordenadores usados en esa época consistían esencialmente en engranajes que permitían calcular cosas muy sencillas. Pensemos que era esto o hacerlo a mano. Este tipo de tecnología se la debemos principalmente a Charles Babbage. Si pensamos en elementos mecánicos para cálculo no obstante, esto se remonta a Vitrubio, quien describe el uso de una rueda para el cálculo de un arco. Pero no nos vayamos tan lejos. En 1905 ya empezó a estar disponible el "ordenador" Argo, o el calculador de Frederic Dreyer, incorporado por la Armada Real Británica.


Incluso las tropas de a pie comenzaron a llevar tablas con ellos para mejorar los cálculos, como la finlandesa. El siguiente invento lo llamaron ellos Korjausmuunnin.


 

 
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